线性代数导论 - #11 基于矩阵A生成的空间：列空间、行空间、零空间、左零空间

 

本节课介绍和进一步总结了如何求出基于一个m*n矩阵A生成的四种常见空间的维数和基：

• 列空间C(A)，dim C(A) = r，基 = { U中主元列对应的原列向量 }；
• 行空间C(A^T)， dim C(A^T) = r，基 = { U中的主元行 }：

1.为什么行空间不表示为R(A)而表示为C(A^T)？

因为转置是矩阵的行与列之间的桥梁。

既然我们已经研究过列空间，通过转置，我们可以将行空间视为转置矩阵的列空间。

2.行空间与列空间之间有什么联系？

因为主元在转置过程中数目不会发生变化，所以行空间和列空间的维数是相同的。

请思考：如何证明下图中Prof. Strang右侧的三个向量线性相关？

3.为什么行空间的基可以直接取消元结果U中的主元行？

消元的过程中所进行的“行变换”，实质上是对各行的多次线性组合。

#10中我们已经学到，同一空间的两个不同的基A、B联系就是：B（或A）可以视为A（或B）的线性组合。

相反地，列空间会随着消元发生变化，列空间的基不能够直接取主元列。

 

• 零空间N(A)，dim N(A) = n-r，基 = { Ax=0的n-r个特解 }；
• 左零空间N(A^T)，dim N(A^T) = m-r，基 = { EA=U中的E的倒数m-r行 }：

 　　　　1.为什么N(A^T)叫“左零”空间？它与零空间有什么联系？

　　　　  其实零空间也可以叫“右零”空间。

　　　　  因为零空间是基于Ax=0的特解生成的，而左零空间是基于xA=0的特解生成的。

　　　　  换言之，零空间包含对列重组得到零向量的系数。左零空间包含对行重组得到零向量的系数。

　　　　 2.为什么左零空间的基这样求？

　　　　  这其实是一种特殊的技巧，利用了消元结果U中含有m-r个零行且零行位于底部的特征。

 

为了进一步理解这四种空间生成的本质、联系与区别，在复杂情景下进行分析，请尝试解出下面这题：